Робота МАН

«Математика і економіка»

ЗМІСТ

1  ВСТУП

2  ІСТОРІЯ

3  Особливості економічних завдань, що вирішуються математичними методами

4  Особливості математичних методів, які застосовуються до вирішення економічних завдань

 5  Специфіка застосування математики у різних науках

 6. Висновок

  7.Список використаної літератури

Вступ

      Математичне моделювання як кількісний інструментарій дослідника по суті своїй належить не тільки математиці - воно має самостійне значення, і свою історію. Примітно, що один і той же математичний апарат зустрічається в описі різних об'єктів в різних наукових дисциплінах. Тим самим математичне моделювання є міждисциплінарною категорією.

      Математичні методи, що зарекомендували себе в першу чергу у фізиці і інших природничонаукових дисциплінах, згодом з розвитком самої математики знайшли успішне вживання і в гуманітарних науках. Економіко-математичне моделювання і моделювання політичної сфери виявляють собою наочний приклад плідного вживання математичної ідеї в наукових дослідженнях.

ІСТОРІЯ

Розвиток методології економіко-математичного моделювання має довгу історію. Становлення двох по суті різних наукових дисциплін - економіки і математики - протягом багатьох століть проходило по власних законах, що відображали природу цих дисциплін, і одночасно стикаючись один з одним.

Зародження економіко-математичної ідеї сходить коренями до глибокої старовини. Так, зведення законів царя Хаммурапі (1792-1790 рр. до н.е.) дає можливість зробити висновок про вельми значний розвиток товарно-грошових відносин у Вавілонії. В трактаті Ксенофонта (430-354 рр. до н.е.) „Про домашнє господарство”, а також „Про доходи” вводиться поняття мінової вартості товару як здібності обмінюватися на інший товар. В трактаті Арістотеля (384-322 рр. до н.е.) „Політика” гроші виступають в ролі вимірювача при обміні, і т.п. Тим самим ще в глибокій старовині з розвитком товарно-грошових відносин в економіці з'являються кількісні величини як міра якості, що можна характеризувати як вживання арифметики в економіці. Поступово наївне уявлення про число як мірі розширилося до розуміння того, як збирати і систематизувати дані. Це розуміння привело до створення дисципліни „статистика”, сам термін якої довгий час вважався синонімом терміну „державознавство”. Так, в німецькому виданні за статистикою, випущеному в 1774 р., затверджується, що „статистика, або державознавство - це наука або область знань про сучасне політичне положення держави”. Потреба в зборі і систематизації даних про ті або інші особливості людського буття сходить настільки далеко, що є всі підстави вважати, що першим статистиком був Бог і статистика як збір даних створена їм разом з світом: „... і сказав господа Мойсею: пішли від себе людей, щоб вони виглянули землю Ханаанську, яку я даю синам ізраїлевим і послав Мойсей людей виглянути землю Ханаанську і сказав їм: підіть в цю південну сторону, і зійдіть на гору, і огляньте землю, яка вона і народ, що живе в ній - сильний він або слабкий, нечисленний або численний”.”. Очевидно, апофеозом арифметичного підходу в економічних ідеях з'явилися ідеї Уїльяма Петі (1623-1687), основоположника так званої класичної школи політичної економії в Англії. В своїй „Політичній арифметиці” У. Петі показав, що його привертають перш за все статистичні зіставлення, розрахунки, цифри. . В ній У. Петі обґрунтував початкові положення статистики, відзначивши, що „точна обізнаність государів про майно їх підданих не несе останнім ніякої шкоди.

Признається, що історично перша модель національної економіки створена французьким економістом Франсуа Кене (1694-1774), яка одержала назву „Економічна таблиця Кене”, в якій містилися зачатки моделей економічної динаміки.

Успіхи вживання математичних методів в економіці яскраво виявилися за часів розвитку самої математики, її основоположних досягнень, пов'язаних з розвитком математичного аналізу.

Математизація науки є закономірним і природним процесом. Якщо диференціація наукового знання приводить до появи нових гілок науки, то інтеграційні процеси в пізнанні миру приводять до своєрідної дифузії наукових ідей з однієї області в іншу. В XVIII столітті Еммануїл Кант не тільки проголошує гасло „всяка наука остільки наука, оскільки вона математика), але і кладе ідеї аксіоматичної побудови геометрії Евкліда в палю концепцію апріорізму. Тоді як в природознавстві математика швидко і міцно зайняла ведучі позиції, в області соціальних наук її успіхи виявилися скромніше. Вживання математичних методів виявилося виправданим там, де поняття носять стабільний характер і стає змістовною задача встановлення зв'язку між цими поняттями, а не нескінченного перевизначення самих понять. Моделювання є дієвим інструментарієм, що дозволяє пояснювати і прогнозувати досліджуваний спостережуваний об'єкт. Представники точних (природних) і гуманітарних наук в поняття моделі вкладають неоднакове значення - спостерігається так : звана методологічна дихотомія, коли протиставляється інтуїтивно-логічний підхід представників гуманітарних наук аналітико-прогностичному підходу, зв'язаному із застосуванням методів точних наук. Математизація економічної науки не в останню чергу обумовлена прагненням вдягнутися свої положення і ідеї в точні абстрактні математичні форми і моделі, бажанням деідеологувати свої результати. В теж час математика в економіці дозволяє точно прорахувати і прогнозувати окремі процеси, що складає очевидну перевагу перед методом „на очко”. На думку відомого російського дослідника професора Мапихіна В.И. вживання математичних методів в економіці йде по трьох напрямах: математична економіка, математичні моделювання економіки і економіко-математичні методи. При цьому математична економіка розуміється як чисто математична теорія економіки - аксіоми від економіки, інше від математики. Дисципліна припускає надзвичайно високий рівень абстракції, докази теорем використовується могутні математичні методи (теорема нерухомої крапки, селекції багатозначних відображень і т.п. Математичне моделювання економіки - цей опис математичних моделей економіки їх створення, аналіз.

                                                                                                                            

. Такими є, наприклад, моделювання виробничих процесів, моделі співпраці і конкуренція, моделі ринків, глобальні моделі міжгалузевого балансу, моделі Солоу, Неймана і т.п. Нарешті, економіко-математичні методи як сукупність математичних методів, що використовуються для створення математичних моделей економіки. До таких, наприклад, відносяться: лінійне програмування, нелінійне і динамічне програмування, методи дослідження операцій, у тому числі теорія ігор і т.п.

Ці висновки є видимими ще в роботах французького дослідника А. Курний: „дослідження про математичні принципи теорії багатств” від 1838 р., де систематично використовуються математичні методи. В своїй книзі в 1874 р. У. Вальрас писав: „чиста теорія економіки є наука, що нагадує у всьому фізико-математичні науки...ми повинні узяти з практики основні поняття, такі як обмін, попит, пропозицію, ринок, капітал, дохід, послуги, продукти. Від цих реальних понять треба абстрагуватися і визначити відповідні ідеальні поняття. Звернення до дійсності і практичного вживання потім можливо тільки після створення теорії... чиста теорія повинна передувати прикладній економіці”.

На ранньому етапі розвитку математичної економіки в XVIII-XIX столітті основним математичним апаратом було диференціальне і інтегральне числення. Останнім часом різні математичні теорії сталі інструментом рішення економіко-математичних задач - це в першу чергу лінійне програмування, теореми про нерухому крапку і теорія лінійних операторів, а також теорія ігор. Математичний апарат став тією методологічною основою, яка об'єднує клас економічних задач” допускаючих математичну: формалізацію. Як відзначив академік А.Н. Колмогоров: „в нерозривному зв'язку із запитами техніки і природознавства запас кількісних відносин і просторових форм вивчаються математиками, безперервно розширяється так, що визначення математики наповнюється все більш багатим змістом”. Не слід думати, що математизація економічних досліджень сприймається в економічних кругах як абсолют. Так, нобелівський лауреат Р. Лукас в 1993 р. писав: Чи „можна придбати знання про реальність за допомогою пера і паперу? Математичні моделі - це вигадані світи, придумані економістами. Всі розглянуті мною моделі могли б бути, але не були зіставлені з наглядами. Не дивлячись на це, я вважаю, що процес створення моделей, в який ми залучені, абсолютно необхідний, і я не можу уявити собі, як без нього ми могли б організувати і використати масу наявних даних”.

На думку відомого російського економіста Г.Б. Клейнера вірогідність визнання практично будь-якої нової економічної теорії або концепції навряд чи не у вирішальному ступені залежить від того, якою мірою ця концепція допускає математичну формалізацію, наскільки цікавий апарат, що використовується при цьому, і наскільки вражають одержані при дослідженні моделі математичні результати. В західній економічній літературі пригнічуючі більшість теоретичних і прикладної наукової статі в області економіки містять як Центральна частина ту або іншу математичну модель, розроблену для перевірки або ілюстрації гіпотез. У вітчизняній економічній науці пропорції між „математизованими” і „нематематизованими” роботами схиляються швидше на користь других, хоча і спостерігається тенденція до зміни у бік перших. Слід визнати, що вітчизняні моделі з часів Л.В. Канторовича традиційно є більш прикладними, направленими на оптимізацію конкретних рішень, на противагу західним моделям, які носять більш теоретичний характер. Відомо також, що приблизно половина Нобелівських премій по економіці присуджена за роботи на стику економіки і математики.

Не дивлячись на великий історичний період розвитку математичного моделювання економіки проблема побудови економіко-математичних моделей далека від остаточного рішення: існують різні моделі одного і того ж об'єму, відсутня єдина методологічна база, не завжди надійна перевірка на адекватність. Все більше дослідників замислюються про необхідність інвентаризації накопичених економіко-математичних моделей, створенню; належним чином систематизованого довідника по моделях реальної економіки. До витрат економіко-математичного моделювання слід віднести і можливість під будь-який економічний план формально створити макроекономічну модель. Математичною мовою можуть бути записані як наукові теорії, так і помилкові концепції, що також треба мати у вигляді.

Тому у взаємовідношенні економічного початку і математичного в реальній економічній ситуації треба завжди пам'ятати, що математика лише інструментарій в руках економіста-дослідника, і аналіз подібних явищ повинен носити змістовний, а не формальний характер.

Особливості економічних завдань, що вирішується

Математичними методами

Є різні точки зору на процеси, що відбуваються в нашому суспільстві в даний момент. Але незалежно від того, як різні політичні сили сприймають ці процеси (як відкат назад або як прогрес, рух вперед), жодна з них не може заперечувати того, що економічні умови життя стали набагато

складніше. Стало набагато важче прийняти рішення, як що стосується приватних інтересів, так і суспільних. Ці труднощі не могли не викликати хвилі нового інтересу до математичним методам, що застосовуються в економіці; тобто до тих методів, які дозволили б вибрати найкращу стратегію як на найближче майбутнє, так і на далеку перспективу. У той же час багато людей в таких випадках краще звертатися до власної інтуїції, досвіду, або ж до чогось сверхественному. Отже, необхідно оцінити роль математичних методів в економічних дослідженнях -- наскільки повно вони описують всі можливі рішення і пророкують найкраще, або навіть так: чи варто їх використовувати взагалі?По відношенню до цього питання слід уникати двох крайніх думок: повне заперечення застосування математичних методів в економіці і фетишизація, перебільшення тієї ролі, яку математика можуть чи могли б зіграти. Обидва цих підходу засновані на незнанні реального стану речей, оскільки людина, хоча б частково знайомий з цим питанням, ніколи не поставить його руба: так чи ні; а буде говорити лише про питому вагу математичних методів у всій системі дослідження економічних проблем. У цьому питанні є значний філософський аспект, пов'язаний з проблемою істини. Тобто наскільки математичні моделі економічних систем відображають реальні закони, за якими живе економіка. Повнота цього відображення залежить в деякій мірі і від мети дослідження. Для одних цілей достатньо мінімального рівня відповідності, для інших же може знадобитися більш детальний опис. Крім того математичні методи не можуть не розвиватися, також як і самі економічні системи. Це відбувається як унаслідок змін в економіці, так і за внутрішньою логікою розвитку. При цьому необов'язково, що нові методи з неминучістю відкидають старі, може відбуватися взаємопроникнення, включення старих теорій в нові (В якості окремого випадку). На розвиток і застосування математичних методів величезний вплив зробило і ще зробить розвиток обчислювальної техніки. Обчислювальна техніка останніх поколінь вже дозволила на практиці застосувати безліч методів, описаних раніше лише теоретично або на простих прикладах.

. Крім усього іншого розвиток систем комп'ютерної обробки, накопичення і зберігання інформації створює нову, досить широку інформаційну базу, яка можливо стане поштовхом до створення нових, раніше невідомих математичних методів пошуку і прийняття рішень.

1.Проблема універсальній застосовності математики

1.1. Причини універсальності математики

Математику можна визначити як науку, що оперує чистими абстракціями, тобто об'єктами, відокремленими від реального світу. Але ще в давнину математика і науки про природу не розділялися. Люди сприймали числа та операції над ними як закони реального світу. Лише в Стародавній Греції вперше виникла ідея про те, що числа можна вивчати окремо (школа піфагорійців). Правда погляди їх на число були майже забобонними. Але саме вони і відкрили першу закономірності, які не мають аналога в світі речей, хоча і приховали їх від усього світу. Таким чином у Стародавній Греції були покладено початку розвитку математики як самостійної науки.

У Середні віки розвиток математики як такої відбувалося в основному в Середній Азії. У Європі ж йшов процес розвитку формальної логіки всередині церковної схоластики. Це також було позитивним моментом, оскільки застосування математики припускає певну формалізацію знання.

Hачіная з 17 століття можливості математики починають рости. Спочатку розвиток математики визначалося потребами вивчення і вираження об'єктивних законів. Згодом математика стала розвиватися підкоряючись також внутрішній логіці розвитку і виходячи з власних потреб. Але роль математики, як апарату для вираження об'єктивних законів, аніскільки не зменшилася. При цьому нові закономірності, виведені чисто математично, дозволяють передбачати властивості, притаманні об'єктам фізичної природи.

Математика стала широко проникати в усі сфери науки, і тут з'ясувалося, рівняння і вирази, створені для цілей однієї науки, часто застосовні, після певної підробки, в іншій.

У чому ж причина такої універсальної придатності математичних методів?

На думку Вігнера універсальність застосування математики слід вважати чимось надприродними. Вчені повинні просто користуватися нею, не намагаючись зрозуміти причини цього. А саму математику він розглядає як науку про хитромудрих операції, які здійснює за спеціально розробленими правилами над спеціально придуманими поняттями. Причому нові поняття виводяться для того і так, щоб над ними можна було зробити якісь хитромудрі операції, які імпонують людського почуття прекрасного самі по собі і по одержуваних з їх допомогою результатами, що володіє великою простотою й спільністю.

Але такий підхід ненауковий. Причина такої універсальності математики криється в високому рівні абстрагування математичної мови. Вже запровадження поняття числа було переходом на більш високий рівень абстрагування. Числа не мають смаку, запаху, ваги та інших емпіричних характеристик, будучи лише суб'єктивним судженням про кількість якого-небудь предмета, явища. У той же час вони дозволяють визначити кількісні характеристики і відносини практично будь-якого об'єкта. Єдина складність полягає лише у виборі одиниці виміру. Тобто вимірявши об'єкт, висловивши його кількісно, можна потім відволіктися від його змісту і оперувати отриманими даними за всіма правилами математичного мови. Отримані таким чином результати можна і потрібно перевіряти емпірично.

Взагалі, мова математики має певні переваги перед природними мовами. Він мінімально надмірний, моносемантічен і містить у собі правила перетворення. Все це дозволяє порівняно легко оперувати елементами мови: об'єднувати фрагменти в блоки, застосовувати алгоритми до блоків, а потім розгортати результат через систему підстановок і т.д.

Застосування математичної мови, в свою чергу вимагає певного рівня формалізації. Введення одиниць виміру - вже часткова формалізація. Але одиниці виміру формалізують лише кількісну сторону явищ і процесів, не дозволяючи створити нові методи для вирішення нових завдань.

Формалізація ж якісних характеристик об'єктів відбувається двома шляхами:

1) створення формалізованих аксіоматичних систем;

2) алгоритмізація.

аксіоматична система - це один зі способів побудови теорії на основі базових положень ( аксіом), з яких потім виводиться основний зміст теорії. Аксіоматичні системи в ході еволюції пройшли три етапи, яким відповідають три типи аксіоматичних систем:

а) Змістовні аксіоматичні системи - коли на основі основних уявлень за допомогою інтуїції описуються змістовно ясні об'єкти. Тобто та об'єкти і аксіоми мають свої аналоги в світі речей. Hа початкових етапах розвитку науки всі теорії являли собою такі аксіоматичні системи. Такі системи не представляють цінності в сенсі універсальності їх застосування.

б) Полуформалізованная аксіоматична система припускає завдання абстрактних об'єктів, для яких описуються змістовно ясні аксіоми. Такі системи вже в досить великою мірою універсальні, оскільки часто буває, що подібність початкових умов дозволяє застосовувати стару теорію для вивчення нових об'єктів (звичайно ж з певною часткою скептицизму).

в) Повністю формалізовані системи. У цьому випадку спочатку задаються та алфавіт системи і аксіоми і правила перетворення знаків алфавіту, що зберігають істинність аксіом. Такі системи можуть розвиватися за своїми внутрішніми законами. Але теорії і методи створені в рамках таких формалізованих систем можуть знайти несподіване застосування в різних галузях наукового знання.

Але головним критерієм застосовності того чи іншого методу є перевірка результатів дослідження на досвіді, на практиці.

Алгоритмізація, другий вид повної формалізації, передбачає створення алгоритмів - єдиних методів для вирішення цілого ряду завдань. При цьому метод рішення полягає в здійсненні якоїсь послідовності заздалегідь певних дій. При цьому створення алгоритму вже передбачає універсальність. У свій час навіть намагалися створити єдиний алгоритм для вирішення будь-яких завдань.

Універсальність алгоритмів має певні обмеження. По-перше, це їх дискретність, тобто розбивка на кроки, які не можна пропускати, по-друге для ряду завдань взагалі немає алгоритму рішення.

Тобто слід помітити, що математика універсальна не абсолютно. При застосуванні математичних методів в різних науках спостерігається певна специфіка.

1.2. Специфіка застосування математики в різних науках

Специфіка застосування математики в різних галузях науки значною мірою визначається особливостями процесу пізнання в цих науках, які в свою чергу залежать від властивостей об'єкта дослідження.

Особливості математичних методів, які застосовуються до вирішення

Економічних завдань

У економічних дослідженнях здавна застосовувалися найпростіші математичні методи. У господарському житті широко використовуються геометричні формули. Так, площа ділянки поля визначається шляхом перемножування довжини на ширину або об’єм силосної траншеї - перемножуванням довжини на середню ширину і глибину. Існує цілий ряд формул і таблиць, що полегшують господарським працівникам визначення тих або інших розмірів.

Нема що говорити про застосування арифметики, алгебри в економічних дослідженнях, це вже питання про культуру дослідження, кожний економіст, що шанує себе, володіє такими навиками. Особняком тут коштують так називані методи оптимізації, частіше називані як економіко-математичні методи. У 60-ті роки нашого сторіччя розгорнулася дискусія про математичні методи в економіці. Наприклад, академік Немчинов виділяв п'ять базових методів дослідження при плануванні:

1) балансовий метод;

2) метод математичного моделювання;

3) векторний-матричний метод;

4) метод економіко-математичних множників (оптимальних суспільних оцінок);

5) метод послідовного наближення

У той же час академік Канторович виділяв математичні методи в чотирьох групи:

- макроекономічні моделі, куди відносив балансовий метод і моделі попиту;

- моделі взаємодії економічних підрозділів (на основі теорії ігор);

- лінійне моделювання, включаючи ряд задач, що трохи відрізняються від класичного лінійного програмування;

І з тієї, і з іншій класифікацією можна сперечатися, оскільки, наприклад моделі попиту можна по ряді особливостей віднести до нелінійного програмування, а стохастичне моделювання іде коренями в теорію ігор. Але все це проблеми класифікації, що мають визначене методологічне значення, але в даному випадку не настільки важливі.

З точки ж зору ролі математичних методів варто говорити лише про широту застосування різних методів у реальних процесах планування.

З цього погляду безсумнівним лідером є метод лінійної оптимізації, що був розроблений академіком Канторовичем у 30-ті роки ХХ-го століття. Частіше усього задача лінійного програмування застосовується при моделюванні організації виробництва. От як по Канторовичу виглядає математична модель організації виробництва:

У виробництві беруть участь M різних виробничих чинників (інгредієнтів) - робоча сила, сировина, матеріали, устаткування, кінцеві і проміжні продукти й ін. Виробництво використовує S технологічних способів виробництва, причому для кожного з них задані об'єми вироблених інгредієнтів, розраховані на реалізацію цього способу з одиничною ефективністю, тобто заданий вектор ak = (a1k, a2k,... , amk ), k = 1,2... ,S, у котрому кожна з компонент aik вказує об'єм виробництва відповідного ( i-го ) інгредієнта, якщо вона позитивна; і об'єм його витрати, якщо вона негативна ( у способі k ).

Вибір плану означає вказівка інтенсивностей використання різних технологічних способів, тобто план визначається вектором x = (x1, x2,... , x ) з невід’ємними компонентами

Звичайно на кількості що випускаються і що затрачаються інгредієнтів накладаються обмеження: зробити потрібно не менше, ніж потрібно, а затрачати не більше, ніж є. Такі обмеження записуються у виді

s

 a ikxkS > bi ; i=1,2,... ,m. (1)

k=1

Якщо i > 0, то нерівність означає, що є потреба в інгредієнті в розмірі i, якщо i < 0,то нерівність означає, що є ресурс даного інгредієнтів розмірі - i =: i:. Далі передбачається, що використання кожного способу, зв'язаного з витратою одного з перерахованих інгредієнтів або особо виділеного інгредієнта в кількості Ck при одиничній інтенсивності способу k. У якості цільовій функції приймається сумарна витрата цього інгредієнта в плані.

s

 ckxk. (2)Sf(x) =

k=1

Тепер загальна задача лінійного програмування може бути подана в математичній формі.

Для заданих чисел aik, ck, і bi найти

s

 ckxkSmin

k=1

при умовах

k > 0, k = 1,2,... ,s [1]

s

 aikxkS > bi, i = 1,2,...,m [2]

k=1
План, що задовольняє умовам [1] і [2], є припустимим, а якщо в ньому , крім того, досягається мінімум цільової функції, то цей план оптимальний. [K33]

Задача лінійного програмування двоїста, тобто, якщо пряма задача має рішення, (вектор x =( x1, x2,... , xk)), те існує і має рішення зворотна задача заснована на транспонуванні матриці прямої задачі. Рішенням зворотної задачі є вектор y = ( y1, y2... ,ym) компоненти якого можна розглядати як об'єктивно обумовлені оцінки ресурсів, тобто оцінки, що показують цінність ресурсу і наскільки повно він використовується.

Специфіка застосування математики в різних науках

За час свого існування людство пройшло величезний шлях від незнання до знання і від неповного знання до більш повного й досконалого. Незважаючи на те, що цей шлях привів до відкриття багатьох законів природи і до побудови захоплююче цікавої картини світу, кожен день приносить нові відкриття, нове проникнення в недостатньо вивчені, а часом і повністю невідомі таємниці природи. Але для того, щоб просунутися в область незвіданого як можна далі і поставити на службу суспільству нові сили природи, наука повинна сміливо вриватися в ті галузі знання, якими людство цікавилося ще недостатньо серйозно або які через складність панівних там явищ здавалися недоступними нашогопізнання. 
На очах нашого покоління наука зробила колосальний крок у вивченні законів природи і у використанні отриманих знань. Досить сказати про вразили уяву успіхи в підкоренні космосу і дослідженнях внутрішньоатомних явищ, а також про перші операціях на серці. Те, що було так недавно ще невідомим, за межами уявлень людей і тим більше поза їх практичної діяльності, тепер стало звичним і увійшло в наше життя. Успіхи медицини дозволили повернути до активного життя багатьох, здавалося б, безнадійно хворих людей, для яких була втрачена радість сприйняття краси навколишнього світу. 
Математика починає набувати все більшого значення в економіці, організації виробництва, а також у соціальних науках. 
Положення математики в сучасному світі далеко не те, яким воно було сто чи навіть тільки сорок років тому. Математика перетворилася на повсякденне знаряддя дослідження у фізиці, астрономії, біології, інженерній справі, організації виробництва і багатьох інших галузях теоретичної і прикладної діяльності. Багато великих лікарі, економісти та фахівці в області соціальних досліджень вважають, що подальший прогрес дисциплін, що їх тісно пов'язаний з більш широким і повнокровним використанням математичних методів, ніж це було до цього часу. 
За тисячоліття свого існування математика пройшла великий і складний шлях, протягом якого неодноразово змінювався її характер, зміст і стиль викладу. Від первинних уявлень про відрізок прямої як найкоротший відстані між двома точками, від предметних уявлень про цілі числах у межах першого десятка математика прийшла до утворення багатьох нових понять і сильних методів, які перетворили її на потужний засіб дослідження природи і гнучке знаряддя практики. Від примітивного рахунку за допомогою камінчиків, паличок і зарубок на стовбурі дерева математика розвинулася у велику струнку наукову дисципліну з власним предметом дослідження та специфічними глибокими методами. Вона виробила власну мову, дуже економний і точний, який виявився винятково ефективним не тільки всередині математики, але і в численних областях її застосувань. 
Хоч як великі успіхи наукового пізнання, ми помічаємо безліч проблем, ще недостатньо досліджених і потребують додаткових зусиль, часом дуже значних. Назвемо процеси мислення, причини розвитку психічних захворювань, управлінняпізнавальною діяльністю. У той же час ми все віддаємо собі звіт в тому, як важливо якомога швидше просунути вперед наше розуміння цих явищ. Дійсно, якщо б нам були відомі досить точно процеси мислення, то це дозволило б полегшити і прискорити навчання дітей і дорослих, придбати нові можливості в лікуванні психічних захворювань. Ми до цих пір говорили про математику лише як про знаряддя дослідження в інших галузях знання і практичної діяльності. Цей аспект тісно пов'язаний з прогресом самої математики, з розширенням поля її досліджень, розвитком її основних понять і створенням нових концепцій. Поки ж ми обмежилися лише поглядом на неї з позицій споживача, з позицій визначення її цінності для розвитку людської культури і суспільного добробуту. У цьому плані математика займає цілком видатне положення. І хоча вона сама не виробляє матеріальні цінності і безпосередньо не вивчає навколишній світ, вона надає в цьому неоціненну допомогу людству. 

Розгляд питання впливу математики на зміну самого стилю наукового мислення, на зміну традиційних способів умовиводів представляє безперечний інтерес хоча б тому, що воно дозволяє глибше проникнути у зміни, що відбулися в сучасному науковому мисленні, зрозуміти їх причини, а також неминучість цього явища. 
Пізнання предмета не здійснюється раптом, а проходить ряд послідовних ступенів.

Людство дуже давно помітило дія важеля і користувалося їм з незапам'ятних часів. Однак лише кількісна його теорія дозволила робити попередні розрахунки і предвичіслять ті сили, які необхідно докласти, щоб отримати необхідний ефект. Але цей крок у розвитку наших знань був зроблений на дуже високій стадії прогресу наукової думки. 
Однак залучення математичних методів в науку неминуче тягне за собою і необхідність залучення самого стилю математичного мислення: чітке формулювання вихідних положень, повноту проведеної класифікації, строгість логічних висновків. Про ці моменти і піде тепер мова. 
У математиці завжди перераховується та сукупність вихідних положень, в яких вирішується задача. Тому і отриманий результат, взагалі кажучи, вірний тільки тоді, коли ці вихідні положення виконані. Візьмемо для ілюстрації цього твердження добре відому кожному з нас ще з дитинства теорему Піфагора про співвідношення між довжиною гіпотенузи і довжинами катетів. Ця теорема правильна для всіх прямокутних трикутників евклідової площини. Якщо ж розглядати прямокутні трикутники на який-небудь іншій поверхні, наприклад на сфері, то теорема Піфагора, взагалі кажучи, буде невірна. Саме тому в математиці потрібно перерахування всіх умов, в яких вірний результат, і не допускається приєднання знадобились в процесі міркувань додаткових припущень. Така скрупульозна точність в перерахуванні умов теорем і в усьому викладі, що бере свій початок в математиці ще з часів еллінізму, довгий час була властива тільки їй. В інших науковихдисциплінах, а також у практичній діяльності до цієї відточеною строгості ставилися в кращому разі байдуже. 
Аксіоматичний метод викладу, прийнятий в геометрії з часу древніх греків, у XIX столітті отримав більш широкого розвитку. У роботах італійських геометрів, а пізніше в знаменитому творі Д. Гільберта (1862 - 1943) «Підстави геометрії» були ретельно вивчені самі аксіоми Евкліда. При цьому виявилося, що класичних аксіом далеко не достатньо для строго логічного побудови евклідової геометрії, що в процесі логічних міркувань у класичній геометрії при доказі теорем вдаються до додаткових міркувань інтуїтивного характеру, які не містяться в сформульованих аксіомах. Гільберт ретельно проаналізував вихідні положення геометрії Евкліда і зумів довести до кінця процес виділення вихідних положень, розпочатий у Стародавній Греції. Пізніше на цю ж дорогу чіткого перерахування вихідних положень теорії встали алгебра, механіка, теорія ймовірностей і ряд інших областей математичної думки. При такому способі викладу завжди відомо, про що йде мова, і немає небезпеки привнесення міркувань інтуїції при правильних міркуваннях в остаточний результат, немає можливості множинності суджень про один і той самий предмет. Ця проста думка - розглядати добре певні поняття і щодо них робити висновки, що базуються на певних вихідних положеннях, аксіомах - в наші дні широко входить в ужиток науки та практичної діяльності. . Такий підхід, застосований до правил граматики, показав, що вони не мають повноти визначення. Положення рятує звичка повсякденного розмовної мови, в результаті чого деякий дефект визначень не грає серйозної ролі при вживанні рідної мови. Однак будь-яка спроба передати автомату конструювання фраз за певними правилами граматики або ж переклад з однієї мови на іншу неминуче призводить до помилок, до численних можливостям неправильних зворотів мови.  

 А такого роду спілкувань людини з машиною в наші дні багато, і у нас повинна бути впевненість в тому, що машини правильно сприймуть вказівки і зроблять саме те, що їм задано. 
У зв'язку з першими кроками людства в завоюванні космосу стає актуальною проблема спілкування людства з іншими цивілізаціями, з якими можливо доведеться зустрітися під час космічних польотів.

При цьому неминуче постане завдання спілкування. Ясно, що французької, англійської чи російської мови для цього недостатньо. Поки проблемами цього роду займаються в першу чергу письменники-фантасти. Вони пропонують рішення, яке може і не здійснитися в дійсності: представники інших цивілізацій знаходяться на настільки високому щаблі інтелектуального розвитку, що вже володіють досконалими автоматами-перекладачами, які автоматично налаштовуються на мову прибулого до них космонавта і ведуть з ним бесіду на його рідній мові. Однак про цю проблему розмірковують і вчені. Вони виходять з іншого припущення. Якщо нам доведеться зустрітися з представниками позаземних цивілізацій, то вони будуть володіти елементами формальної логіки і володіти основами геометричних уявлень. Оскільки закони світу одностайні, то і закони логіки і первинні геометричні поняття землян і представників позаземної цивілізації будуть однакові. 
Однак необхідність математичного підходу до суворості та точності визначень і логічних міркувань потрібна не тільки для подібних, поки вельми віддалених перспектив, але і для справ, незалежно від того, чи стосуються вони лінгвістики, юриспруденції, інженерної справи або економіки. Протягом ряду років я був досить тісно пов'язаний з лікарями, займаючись спільними дослідженнями з об'єктивізації діагностики серцевих захворювань. Мене вразило наявність майже що математичного стилю мислення в основному колективі лікарів - співробітників інституту серцевих захворювань. Аналіз стану кожного хворого проводилося з разючою логічної скрупульозністю, властивою до останнього часу лишематематичним дослідженням. 
Друга сторона математизації мислення полягає в тому прагненні, яке тепер спостерігається, - виводити з строго сформульованих початкових положень логічні наслідки і потім ці слідства піддавати безпосередньому спостереженню. При цьому особливу цінність здобувають ті теоретичні побудови, які дозволяють залучити до отримання логічних висновків різноманітний апарат дедуктивної математики. При цьому вдається скористатися величезним обсягом вже отриманихматематикою висновків. Цим користуються в математиці вже давно. 
Майже два століття тому виникла математична фізика, яка на базі основних положень, виведених з спостереження і досвіду, отримує великі слідства математичним шляхом. Так розвивалися геометрична і хвильова оптика, так йшло розвиток акустики та електродинаміки. У ще більшою мірою цей шлях виправдав себе в сучасній фізиці, що має справу з атомних і субатомних явищами. . Математична теорія приводила до висновків, згідно з якими повинні існувати раніше неспостережний елементи матерії. Ці висновки порівнювалися з результатами спостережень, і ці порівняння приводили до цікавих і важливих наслідків: підрахунком величин маси та заряду частинки; її взаємозв'язків з раніше спостерігалися частками і т. д. Іноді минали роки, перш ніж вдавалося підтвердити висновки математичної теорії експериментально. Сучасна фізика сповнена такими математичними передобчисленням реальних явищ, про які не було відомо нічого і які пізніше були виявлені шляхом складних експериментів, спеціально продуманих на основі математичної теорії. 
Неважко навести численні приклади того, як математичний стиль мислення приносив користь в інших галузях знання - біології, економіці, організації виробництва. Згадаймо, для прикладу, що електротехніка та радіотехніка викладаються якматематичні дисципліни і використовують різноманітний і дуже складний математичний апарат. Це повністю себе виправдовує, оскільки дозволяє проводити своєчасно розрахунки, прогнозувати перебіг процесів, отримувати можливістьуправління процесами. 

Висновок

У висновку підведемо основні підсумки реферату. 
Оскільки математика представляє по своїй природі загальне і абстрактне знання, вона в принципі може і повинна використовуватися у всіх галузях науки. Математику можна віднести до загальних наук. У самому справі, вона вважається загальною і абстрактною наукою, оскільки математичний апарат в принципі може використовуватися і практично використовується у всіх без винятку галузях знання. Завдання математики полягає в описі того або іншого процесу за допомогою будь-якого математичного апарату, тобто формально-логічним способом. Говорячи про предмет і функції математики, очевидно, що в сучасній науці все більш відчутною стає інтегруюча роль математики, оскільки вона є загальною науковою дисципліною. Функції математики в рівній мірі є функціями гуманітарними, оскільки спрямовані на вдосконалення матеріальної і духовної сфер людського буття. 
При вивченні математики здійснюється розвиток інтелекту школяра, збагачення його методами відбору та аналізу інформації. Викладання будь-якого розділу математики благотворно позначається на розумовому розвитку учнів, оскільки прищеплює їм навички ясного логічного мислення, що оперує чітко визначеними поняттями. 
Математика містить у собі риси вольової діяльності, умоглядного міркування і прагнення до естетичної досконалості. Її основні і взаємно протилежні елементи - логіка й інтуїція, аналіз і конструкція, спільність і конкретність. 
Вивчення математики також сприяє формуванню громадянських якостей особистості за допомогою виховання властивості, яке ми називаємо інтелектуальної чесністю, благотворно позначається на розумовому, моральному та естетичному розвитку учнів. 
Одночасно виховуються вольові якості особистості, без яких неможливо оволодіння науковою теорією, формуються навички самостійної дослідницької роботи, нарешті, виховується інтелектуальна чесність, яка не дозволяє оперувати сумнівними, не доведеними з усією необхідною строгістю фактами. Причому це відноситься не тільки до вирішення математичних завдань, але і до інших областей людської діяльності, в тому числі і до аналізу явищ суспільно-політичного життя. Математичну освіту із зовнішнього по відношенню до учня процесу навчання трансформується у власне пізнавальний процес. Тільки спільні дії цих полярних начал і боротьба за їх синтез забезпечують життєвість, корисність і високу цінність математичної наук

Враховуючи внутрішнє логічне єдність математики, органічний взаємозв'язок її частин, найважливішою вимогою до організації її викладання повинні стати послідовність і наступність у навчанні, бачення на всіх його етапах основної мети. Цією метою є накопичення спеціальних знань, оволодіння прийомами постановки і рішення математичних задач і на їх базі розвиток інтелекту учнів, формування у них культури мислення, виховання вольових якостей особистості, вміння долати труднощі, естетичний розвиток, що базується на здатності оцінити красу наукових побудов і радості від набуття нового знання. 
Таким чином, математика своїми специфічними засобами сприяє вирішенню цілого комплексу гуманітарних завдань і має велике значення в житті суспільства. 
Немає сумнівів, що математика і математичний стиль мислення роблять зараз тріумфальний марш як в науці, так і в її застосуваннях. Учні, студенти повинні в якійсь мірі відчути це і ставитися до математики з великим інтересом, захопленням та розумінням необхідності математичних знань, як для майбутньої їх діяльності, так і для життя людського суспільства. 

Список використаної літератури

1. Б.В. Гнеденко Математика в сучасному світі. - М.: Просвещение, 1990. - 128 с. 
2. Е.А. Бєляєв, В.Я. Пермінов «Філософські та методологічні проблеми математики», МДУ, 1981, - 214 с. 
3. Н.І. Жуков «Філософські проблеми математики», Мінськ, 1977, -95 с. 
4. Незбагненна ефективність математики в природничих науках: - 1991, № 10, с. 23.